Контурная модель пенсионной системы накопительного типа необходима для понимания механизмов ее функционирования и роли параметров, управляющих процессами накопления и использования накопленных сумм.
Рассмотрим примитивнейший процесс ежемесячных отчислений в накопительную пенсионную систему с ежемесячной капитализацией поступающих вкладов до выхода на пенсию с последующим ежемесячным получением пенсии и ежемесячной капитализацией остающейся части вклада после вплоть до полного исчерпания пенсионного накопления.
Пусть
NZ – численность работников, выплачивающих пенсионный налог.
SZ – средний размер заработной платы работников, выплачивающих пенсионный налог.
TZ – тариф отчислений (доля отчислений от заработной платы) в пенсион-ную систему.
R = TZ*SZ (1)
R – величина ежемесячного взноса в накопительную пенсионную систему индивидуального пенсионера.
NP – численность получателей пенсии.
P – средний размер пенсии.
P = TP*SZ (2)
TP –тариф средней пенсии (в долях от заработной платы).
Из (1)-(2) следует, что
R = P*TZ/TP (3)
Или
P = R*TP/TZ (4)
Чтобы написать модель функционирования пенсионной системы накопительного типа, рассмотрим пример индивидуального баланса отдельно взятого пенсионера. Накопленный пенсионный вклад (без права выплат до конца срока накопления) затем расходуется на выплату пенсий до исчерпания объема накоплений за время срока дожития.
SНК = SПК (5)
SНК — индивидуальная сумма накоплений ежемесячных вкладов работника с учетом капитализации.
SПК — индивидуальная сумма выплат пенсии пенсионеру с учетом капитализации.
Пример.
Пусть в течение десяти лет происходят ежемесячные отчисления в размере R рублей. Деньги попадают на накопительный счет и ежемесячно капитализируются. Пусть i – месячная ставка в % (при 10% годовых месячная ставка принимается равной 10/12 = 0,8333…%). Примем, что накопление происходит в течение 10 лет, а получение в течение 5 лет.
Процесс накопления (n –число месяцев накопления)
За первый месяц работы (в конце месяца) внесено R рублей. До момента получения первой пенсии пройдет (119 месяцев +1 месяц), то есть 120 месяцев. Тогда капитализация этого взноса даст вкладчику
1 –ый месяц даст R*(1+i)120
2 –ой месяц даст R*(1+i)119
3 –ий месяц даст R*(1+i)118
4 –ый месяц даст R*(1+i)117
5 –ый месяц даст R*(1+i)116
………………………………
118 –ый месяц даст R*(1+i)3
119 –ый месяц даст R*(1+i)2
120 –ый месяц даст R*(1+i)1
Здесь предполагается, что получение первой пенсии происходит спустя месяц после получения последней заработной платы и выполненных последних отчислений, то есть, последний взнос капитализируется один месяц.
Накопленная сумма SНК составит
Из последнего выражения следует (в общем виде для любого n), что накопленная сумма, как сумма членов геометрической прогрессии, составит:
Так при n=120 и i = 6% мультипликатор накопления составит 1,372, а при n=480 и i = 6% мультипликатор накопления составит 4,17.
Процесс получения пенсий (m –число месяцев получения)
Рассмотрим процедуру получения пенсий. В нашем примере процесс получения длится в течение 5 лет (m = 60 месяцев)
Первая пенсия в размере P рублей будет получена спустя месяц, после окончания работы и будет вычтена из суммы S = SНК. Оставшаяся часть составит (S – P) рублей и будет капитализироваться в течение месяца, до момента получения следующей пенсии. К моменту получения второй пенсии оставшаяся часть вырастет в (1+i) раз и составит
S1 = (S – P)*(1+i) = S*(1+i) – P*(1+i) рублей
Вторая пенсия в размере P рублей будет получена спустя два месяца, после окон-чания работы и будет вычтена из суммы S1. Оставшаяся часть составит (S1 – P) рублей и будет капитализироваться в течение месяца, до момента получения следующей пенсии. К моменту получения третьей пенсии оставшаяся часть вырастет в (1+i) раз и составит
S2 = (S1 – P)*(1+i) =((S – P)*(1+i)- P)*(1+ i) = S*(1+ i)2– P*(1+i)2 – P*(1+i)
S3 = (S2 – P)*(1+i) = …………= S*(1+ i)3– P*(1+i)3 – P*(1+i)2 – P*(1+i)
…………………………………………………………
S57 = (S56 – P)*(1+i) рублей
S58 = (S57 – P)*(1+i) рублей
S59 = (S58 – P)*(1+i) рублей
S60 = (S59 – P)*(1+i) рублей
Последняя пенсия должна быть равна последней капитализации последнего остатка
S60 = P = (S59 – P)*(1+i) рублей или S60 – P = 0
Из последнего уравнения следует, что
S60 = (S59 – P) (1+i) = S59*(1+ i) – P(1+ i) = ((S58 – P) (1+i)) (1+ i) – P(1+ i) =
S58*(1+ i)2 – P(1+ i)2 – P(1+ i) =
S57*(1+ i)3 – P(1+ i)3 – P(1+ i)2 – P(1+ i) =
S56*(1+ i)4 – P(1+ i)4 – P(1+ i)3 – P(1+ i)2– P(1+ i) =
…………………………………………………………… =
S*(1+ i)60 – P(1+ i)60 – P(1+ i)59 – P(1+ i)58 –……… — P(1+ i) = P
Или
S*(1+ i)60 = P(1+ i)60 + P(1+ i)59 + P(1+ i)58+………..+ P(1+ i) + P
Откуда
Вычисляя сумму членов геометрической прогрессии (в общем виде для любого m), получаем
Или
Размер получаемой пенсии с учетом ежемесячной капитализации PК следует из (8) и будет равен
Если бы выплата пенсий производилась без капитализации, то ежемесячно получаемая пенсия составила бы
PБК = SНК/m
И тогда коэффициент капитализации получения пенсии KП (мультипликатор получения) составит
Общий коэффициент капитализации накопления и получения пенсии KПС(мультипликатор пенсионной системы) равен произведению коэффициентов капитализации накопления и получения пенсии
KПС — мультипликатор пенсионной системы при n=120, m=60 и i = 6% составит 1,562 , а при n=480, m=240 и i = 6% составит 7,118
Иными словами, финансируя пенсионную систему в течение 60 лет, каждый пенсионер мог бы рассчитывать на семикратное увеличение стартовых взносов. Законодательного описания такого алгоритма накопления в пенсионной системе нет. А, значит, нет контроля и нет гарантий получения накопленной капитализированной пенсии.
В действительности в пенсионной системе ничего из описанных процессов не происходит. Некие слабо прогнозируемые, но широко разрекламированные повышения будут неизбежно происходить. Эффект этих повышений оценить нетрудно. Отношение мультипликатора пенсионных накоплений к общему эффекту рекламных повышений отражает реальный эффект недополученных доходов.
Приравнивая сумму накопления пенсии из (6) и сумму получения пенсии из (8) получаем из уравнения баланса для индивидуального пенсионера (5), что
Напомним, что отношение размера отчислений R к размеру пенсии P в точности равно отношению тарифов TZ к TP из (3) или (4).
Из (3)-(4) получаем отношение тарифов, как функцию от трех параметров
1. процентной ставки капитализации i
2. продолжительности периода накопления n
3. продолжительности периода получения m
Или
Эта формула позволяет найти любой из пяти параметров, если известны остальные четыре. Выражение для k(i,n,m) легко поддается табулированию. Проще говоря, для различных i выполнены расчеты матриц, элементами которых является отношение тарифов взносов к тарифам соответствующей пенсии при разных сроках накопления и получения. Для расчетов k(i,n,m) разработано соответствующее программное обеспечение.
Пример: рассчитать тариф TZ отчислений из заработной платы для получения пенсии в размере 0,35 от средней заработной платы SZ при
i = 6% годовых (или 0,005 прироста в месяц)
n = 40 лет или 480 месяцев накопления
m = 20 лет или 240 месяцев получения.
Тариф TZ для получения сегодняшней пенсии, равной 0,35*SZ составит около 2,5% вместо 26% ныне существующих. И самое главное — тариф TZ в ПСНТ не зависит ни от коэффициента демографической нагрузки, ни от коэффициента собираемости.